已知椭圆G：x24+y2=1，过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A、B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）当m变化时，求S△OAB的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆G：x24+y2=1，过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A、..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆G：

x2

4

+y²=1，过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆G于A、B两点．
（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（2）当m变化时，求S_△OAB的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）椭圆G：

x2

4

+y²=1中，a=2，b=1，∴c=

a2-b2

=

3

∴椭圆G的焦点坐标为（±

3

，0），离心率e=

c

a

=

3

2

；
（2）由题意知，|m|≥1
当m=±1时，切线l的方程为x=±1，此时|AB|=

3

；
当|m|＞1时，设l为y=k（x-m），代入椭圆方程可得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x₁x₂=

4k2m2-4

1+4k2

∵l与圆x²+y²=1相切，∴

|km|

k2+1

=1，即m²k²=k²+1
∴|AB|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

4

3

|m|

m2+3

=

4

3

|m|+

3

|m|

≤2（当且仅当m=±

3

时取等号）
∴|AB|的最大值为2，
∴S_△OAB的最大值为

1

2

×2×1=1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆G：x24+y2=1，过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A、..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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