已知F1，F2为椭圆的焦点，P为椭圆上的任意一点，∠F1PF2=45°．（1）求椭圆的离心率的取值范围；（2）求证：△F1PF2的面积与椭圆的短轴长有关．-数学试题及答案

1、试题题目：已知F1，F2为椭圆的焦点，P为椭圆上的任意一点，∠F1PF2=45°．（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

已知F₁，F₂为椭圆的焦点，P为椭圆上的任意一点，∠F₁PF₂=45°．
（1）求椭圆的离心率的取值范围；
（2）求证：△F₁PF₂的面积与椭圆的短轴长有关．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵不妨设P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，∠F₁PF₂=45°，
∴|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
在△F₁PF₂中，由余弦定理得：
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|?|PF₂|cos∠F₁PF₂
=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|PF₁|?|PF₂|-2|PF₁|?|PF₂|cos45°
=4a²-2|PF₁|?|PF₂|-2|PF₁|?|PF₂|×

2

=4c²，
∴|PF₁|?|PF₂|=

4(a2-c2)

2+

2

，
又PF1?PF2≤(

PF1+PF2

2

)2=a²，
∴

4(a2-c2)

2+

2

≤a2，解得e²≥

2-

2

4

，
∴e≥

2-

2

，又e＜1，
∴椭圆的离心率的取值范围[

2-

2

，1）．
（2）由（1）知，|PF₁|?|PF₂|=

4(a2-c2)

2+

2

，
S_△F1PF2=

1

2

PF₁?PF₂?sin45°=

1

2

4(a2-c2)

2+

2

×

2

=（

2

-1）b²，
即：△F₁PF₂的面积与椭圆的短轴长有关．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知F1，F2为椭圆的焦点，P为椭圆上的任意一点，∠F1PF2=45°．（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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