已知大于1的正数x，y，z满足x+y+z=33．（1）求证：x2x+2y+3z+y2y+2z+3x+z2z+2x+3y≥32．（2）求1log3x+log3y+1log3y+log3z+1log3z+log3x的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知大于1的正数x，y，z满足x+y+z=33．（1）求证：x2x+2y+3z+y2y+2z+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-02 07:30:00

试题原文

已知大于1的正数x，y，z满足x+y+z=3

3

．
（1）求证：

x2

x+2y+3z

+

y2

y+2z+3x

+

z2

z+2x+3y

≥

3

2

．
（2）求

1

log3x+log3y

+

1

log3y+log3z

+

1

log3z+log3x

的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柯西不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由柯西不等式得，
（

x2

x+2y+3z

+

y2

y+2z+3z

+

z2

z+2x+3y

）[（x+2y+3z）+（y+2z+3x）+（z+2x+3y）]≥（x+y+z）²=27
得：

x2

x+2y+3z

+

y2

y+2z+3x

+

z2

z+2x+3y

≥

3

2

；
（2）∵

1

log3x+log3y

+

1

log3y+log3z

+

1

log3z+log3x

=

1

log3(xy)

+

1

log3(yz)

+

1

log3(zx)

，
由柯西不等式得：（

1

log3(xy)

+

1

log3(yz)

+

1

log3(zx)

）（log₃（xy）+log₃（yz）+log₃（zx）），
由柯西不等式得：（

1

log3(xy)

+

1

log3(yz)

+

1

log3(zx)

）（log₃（xy）+log₃（yz）+log₃（zx））≥9
所以，(

1

log3(xy)

+

1

log3(yz)

+

1

log3(zx)

)≥

9

(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))

=

9

2log3(xyz)

，
又∵3

3

=x+y+z≥3

3	xyz

．
∴xyz≤3

3

．
∴log3xyz≤

3

2

．得

9

2log3xyz

≥

9

2

×

2

3

=3
所以，

1

log3x+log3y

+

1

log3y+log3z

+

1

log3z+log3x

≥3当且仅当x=y=z=

3

时，等号成立．
故所求的最小值是3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知大于1的正数x，y，z满足x+y+z=33．（1）求证：x2x+2y+3z+y2y+2z+..”的主要目的是检查您对于考点“高中柯西不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柯西不等式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：