已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为6，且经过点(1，12)．若直线x+y-1=0与椭圆交于两点P，Q，求证：OP⊥OQ．-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为6，且经过点(1，12..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为

6

，且经过点(1，

1

2

)．若直线x+y-1=0与椭圆交于两点P，Q，求证：OP⊥OQ．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为

6

，
∴设椭圆方程为

x2

3

2

+

y2

b2

=1，
∵椭圆经过点(1，

1

2

)，
∴

2

3

+

1

4

b2

=1，解得b²=

3

4

，
∴椭圆方程为

2x2

3

+

4y2

3

=1．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x+y-1=0

2x2+4y2=3

，得6x²-8x+1=0，
∴x₁+x₂=

4

3

，x1x2 =

1

6

，
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-

4

3

+

1

6

=-

1

6

．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴OP⊥OQ．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为6，且经过点(1，12..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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