已知函数f(x)=2x+alnx-2(a＞0)．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=2x+alnx-2(a＞0)．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-18 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

2

x

+alnx-2(a＞0)．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．

试题来源：东至县一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数零点的判定定理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
因为f′(x)=-

2

x2

+

a

x

，所以，f′(1)=-

2

12

+

a

1

=-1，所以，a=1．
所以，f(x)=

2

x

+lnx-2，f′(x)=

x-2

x2

．由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x＜2．
所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．
（Ⅱ） f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

，由f'（x）＞0解得 x＞

2

a

；由f'（x）＜0解得 0＜x＜

2

a

．
所以，f（x）在区间(

2

a

，+∞)上单调递增，在区间(0，

2

a

)上单调递减．
所以，当x=

2

a

时，函数f（x）取得最小值，ymin=f(

2

a

)．因为对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以，f(

2

a

)＞2(a-1)即可．则

2

a

+aln

2

a

-2＞2(a-1)．由aln

2

a

＞a解得 0＜a＜

2

e

．
所以，a的取值范围是 (0，

2

e

)．
（Ⅲ）依题得 g(x)=

2

x

+lnx+x-2-b，则 g′(x)=

x2+x-2

x2

．
由g'（x）＞0解得 x＞1；由g'（x）＜0解得 0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，所以

g(e-1)≥0

g(e)≥0

g(1)＜0

，
解得 1＜b≤

2

e

+e-1．所以，b的取值范围是(1，

2

e

+e-1]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=2x+alnx-2(a＞0)．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数零点的判定定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数零点的判定定理”。

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