已知函数h（x）=x2，φ（x）=2elnx（其中e是自然对数的底数）．（1）判断函数F（x）=h（x）-φ（x）的零点个数并证明你的结论；（2）证明：当x＞0时，φ（x）图象不可能在直线y=2ex-e的上方．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数h（x）=x2，φ（x）=2elnx（其中e是自然对数的底数）．（1）判断函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-18 07:30:00

试题原文

已知函数h（x）=x²，φ（x）=2elnx（其中e是自然对数的底数）．
（1）判断函数F（x）=h（x）-φ（x）的零点个数并证明你的结论；
（2）证明：当x＞0时，φ（x）图象不可能在直线y=2

e

x-e的上方．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数零点的判定定理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数F（x）只有一个零点．
证明：∵F（x）=h（x）-φ（x）=x²-2elnx（x＞0），
∴F'（x）=2x-

2e

x

=

2(x-

e

)(x+

e

)

x

．
当x=

e

时，F'（x）=0．
∵当0＜x＜

e

时，F'（x）＜0，此时函数F（x）递减；
当x＞

e

时，F'（x）＞0，此时函数F（x）递增；
∴当x=

e

时，F（x）取极小值，其极小值为0．
所以函数F（x）只有一个零点．
（2）证明：令G（x）=φ（x）-2

e

x+e=2elnx-2

e

x+e，
则G'（x）=

2e

x

-2

e

=

2

e

(

e

-x)

x

，当x=

e

时，G'（x）=0．
∵当0＜x＜

e

时，G'（x）＞0，此时函数G（x）递增；
当x＞

e

时，G'（x）＜0，此时函数G（x）递减；
∴当x=

e

时，G（x）取极大值，其极大值为0．
从而G（x）=2elnx-2

e

x+e≤0，
即?（x）≤2

e

x-e（x＞0）恒成立，
所以当x＞0时，φ（x）图象不可能在直线y=2

e

x-e的上方．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数h（x）=x2，φ（x）=2elnx（其中e是自然对数的底数）．（1）判断函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数零点的判定定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数零点的判定定理”。

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