已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[-3，2]上任意两-数学试题及答案

1、试题题目：已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）过点（-1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx（a，b，c∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，求实数t的最小值；
（Ⅲ）当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f（x）的表达式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵函数f（x）过点（-1，2），
∴f（-1）=-a+b-c=2，①
又f'（x）=3ax²+2bx+c，函数f（x）点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，
∴

f(1)=-2

f′(1)=0

，
∴

a+b+c=-2

3a+2b+c=0

，②
由①和②解得a=1，b=0，c=-3，故f（x）=x³-3x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f'（x）=3x²-3，
令f'（x）=0，解得x=±1，
∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
∴在区间[-3，2]上f_max（x）=2，f_min（x）=-18，
∴对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|≤20，
∴t≥20，从而t的最小值为20；
（Ⅲ）∵f'（x）=3ax²+2bx+c，
则

f′(0)=c

f′(-1)=3a-2b+c

f′(1)=3a+2b+c

，可得6a=f'（-1）+f'（1）-2f'（0）．
∵当-1≤x≤1时，|f'（x）|≤1，
∴|f'（-1）|≤1，|f'（0）|≤1，|f'（1）|≤1，
∴6|a|=|f'（-1）+f'（1）-2f'（0）|≤|f'（-1）|+|f'（1）|+2|f'（0）|≤4，
∴a≤

2

3

，故a的最大值为

2

3

，
当a=

2

3

时，

|f′(0)|=|c|=1

|f′(-1)|=|2-2b+c|=1

|f′(1)|=|2+2b+c|=1

，解得b=0，c=-1，
∴a取得最大值时f(x)=

2

3

x3-x．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）过点（-1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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