发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-13 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)当x<1时,f'(x)=-3x2+2x+b. 依题意,得
(II)由(I)知,f(x)=
①当-1≤x<1时,f′(x)=-3x2+2x=-3x(x-
令f′(x)=0得x=0或x=
∴f(x)在[-1,1)上的最大值为2. ②当1≤x≤2时,f(x)=alnx. 当a≤0时,f(x)≤0;当a>0时,f(x)在[1,2]上单调递增, ∵f(x)在[1,2]上的最大值为aln2. 综上所述,当aln2≤2,即a≤
当aln2>2,即a>
(III)假设曲线y=f(x)上存在两点P、Q满足题设要求, 则点P、Q只能在y轴的两侧,不妨设P(t,f(t))(t>0),则Q(-t,t3+t2), 显然t≠1∵△POQ为直角三角形,∴
是否存在P、Q等价于方程(1)是否有解.若0<t<1,则f(t)=-t3t2, 代入(1)式得,-t2+(-t3+t2)(t3+t2)=0,即t4-t2+1=0,而此方程无实数解, 因此t>1.∴f(t)=alnt,代入(1)式得,-t2+(alnt)(t3+t2)=0, 即
则h′(x)=lnx+
∵t>1,∴h(t)>h(1)=0,当t→+∞时,h(t)→∞, ∴h(t)的取值范围是(0,+∞) ∴对于a>0,方程(*)总有解,即方程(1)总有解. 因此对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上总存在两点P、Q使得△POQ是以点O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上.…(14分) |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=-x3+x2+bx+c,x<1alnx,x≥1的图象过坐标原点O,且在..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的极值与导数的关系”。