（理科）定义在R上的函数f(x)=x+bax2+1(a，b∈R，a≠0)是奇函数，当且仅当x=1时，f（x）取得最大值．（1）求a、b的值；（2）若方程f(x)+mx1+x=0在区间(-1，1)上有且仅有两个不同实根，求-数学试题及答案

1、试题题目：（理科）定义在R上的函数f(x)=x+bax2+1(a，b∈R，a≠0)是奇函数，当且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

（理科）定义在R上的函数f(x)=

x+b

ax2+1

(a，b∈R，a≠0)是奇函数，当且仅当x=1时，f（x）取得最大值．
（1）求a、b的值；
（2）若方程f(x)+

mx

1+x

=0在区间(-1，1)上有且仅有两个不同实根，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（-x）=-f（x）得b=0
∴f(x)=

x

ax2+1

又由函数f（x）的定义域为R知a≥0

当x≤0时，f(x)≤0

当x＞0时，f(x)=

x

ax2+1

≤

x

2

ax2

=

1

2

a

当且仅当ax²=1即x=

1

a

时f(x)取得最大值
∴

1

a

=-即a=1
综上a=1，b=0…（6分）
（2）由

x

x2+1

+

mx

x+1

=0化简得

x(mx2+x+m+1)=0

∴x=0或mx2+x+m+1=0

若0是方程mx2+x+m+1=0，则m=-1

此时方程mx2+x+m+1=0的另一根为x=1，不合题意

∴方程mx²+x+m+1=0在区间（-1，1）上有且仅有一个非零实根．
当m=0时，x=-1不合题意当m≠0时，分两种情况讨论
①△=0，x=

1

2m

∈(-1，1)得m=

-1-

2

②令h（x）=mx²+x+m+1则h（-1）?h（1）＜0且h（0）≠0解得-1＜m＜0
综上所述实数m的取值范围为(-1，0)∪{

-1-

2

}…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（理科）定义在R上的函数f(x)=x+bax2+1(a，b∈R，a≠0)是奇函数，当且..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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