已知函数f（x）=x2-x，g（x）=lnx．（1）求证：f（x）≥g（x）；（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的值；（3）设F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有两个极值点x1、x2（x1＜x2）；求实数m的取值范围，并证明：-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2-x，g（x）=lnx．（1）求证：f（x）≥g（x）；（2）若f（x）≥ag（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（1）求证：f（x）≥g（x）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的值；
（3）设F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有两个极值点x₁、x₂（x₁＜x₂）；求实数m的取值范围，并证明：F(x2)＞-

3+4ln2

16

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设G（x）=x²-x-lnx，
故G′(x)=

(2x+1)(x-1)

x

（x＞0）…2'
∴G（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增
∴G（x）≥G（1）=0
∴f（x）≥g（x）…2'
（2）令h（x）=f（x）-ag（x）
∵h（1）=0
所以h（x）≥0的必要条件是h'（0）=0，得a=1…3'
当a=1时，由（1）知h（x）≥0恒成立．
所以a=1…2'
（3）因为F（x）=f（x）+mg（x）=x²-x+mlnx，所以F′(x)=

2x2-x+m

x

(x＞0)，
F（x）有两个极值点x₁、x₂等价于
方程2x²-x+m=0在（0，+∞）上有两个不等的正根
∴

△＞0

x1+x2＞0

x1?x2＞0

得 0＜m＜

1

8

…2'
由F'（x）=0得m=-2x₂²+x₂，（0＜x1＜

1

4

＜x2＜

1

2

）
∴F（x₂）=x₂²-x₂+（x₂-2x₂²）lnx₂
设?(x)=x2-x+(x-2x2)lnx ， (

1

4

＜x＜

1

2

)，
得?'（x）=（1-4x）lnx＞0，∴?(x)＞?(

1

4

)=-

3+4ln2

16

所以F(x2)＞-

3+4ln2

16

…4'

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2-x，g（x）=lnx．（1）求证：f（x）≥g（x）；（2）若f（x）≥ag（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：