已知f（x）=ax+bx+2-2a（a＞0）在图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．（1）求a，b满足的关系式；（2）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）若a=1，数列{an}满足-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=ax+bx+2-2a（a＞0）在图象在点（1，f（1））处的切..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知f（x）=ax+

b

x

+2-2a（a＞0）在图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）若a=1，数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=f（a_n）+2-a_n（n∈N^*），求证：a₁?a₂?a₃…a_n=n+1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）求导函数可得f′（x）=a-

b

x2

，根据题意f′（1）=a-b=2，即b=a-2；
（2）由（1）知，f（x）=ax+

a-2

x

+2-2a，
令g（x）=f（x）-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）
则g（1）=0，g′（x）=

a(x-1)(x-

2-a

a

)

x2

①当0＜a＜1时，

2-a

a

＞1，若1＜x＜

2-a

a

，则g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）减函数，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）＜2lnx在[1，+∞）上恒成立；
②a≥1时，

2-a

a

≤1，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函数，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．
综上所述，所求的取值范围是[1，+∞）；
（3）证明：取a=1得f（x）=x-

1

x

，所以a_n+1=f（a_n）+2-a_n=2-

1

an

∴a_n+1-1=

an-1

an

，∴

1

an+1-1

=

1

an-1

+1
∴{

1

an-1

}是等差数列，首项为

1

a1-1

=1，公差为1，
∴

1

an-1

=n，∴an=

n+1

n

∴a₁?a₂?…a_n=

2

1

?

3

2

?…?

n+1

n

=n+1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=ax+bx+2-2a（a＞0）在图象在点（1，f（1））处的切..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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