已知f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+2lnx，（a＜0，a∈R）（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+2lnx，（a＜0，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设x=[-e，0），则-x∈（0，e]∴f（-x）=-ax+2ln（-x）．∵f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]，上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=ax-2ln（-x）．
故函数f（x）的解析式为：f(x)=

ax-2ln(-x)x∈[-e，0)

ax+2lnx，x∈(0，e]

（2）假设存在实数a，使得当x∈（-e，0]时，f（x）=ax-2ln（-x）有最小值是3．
∵f′(x)=a-

2

x

=

ax-2

x

．
①当

2

a

≤-e，即-

2

e

≤a＜0时，
由于x∈[-e，0），则f'（x）≥0．故函数f（x）=ax-2ln（-x）是[-e，0）上的增函数．
∴所以f（x）_min=f（-e）=-ae-2=4，解得a=-

6

e

＜-

2

e

（舍去）
②当

2

a

＞-e，即a＜-

2

e

时，则

x

(-e，

2

a

)

(

2

a

，0)

f'（x）

-

+

f（x）

↘

↗

∴f(x)min=f(

2

a

)=2-2ln(-

2

a

)=4，解得a=-2e
综上所知，存在实数a=-2e，使得当x∈[-e，0）时，f（x）最小值4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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