发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-05 07:30:00
试题原文 |
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解:(Ⅰ)(ⅰ)由,得, 因为x>1时,, 所以函数f(x)具有性质P(b). (ⅱ)当b≤2时,由x>1得x2-bx+1≥x2-2x+1=(x-1)2>0, 所以f′(x)>0,从而函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增; 当b>2时,解方程x2-bx+1=0得, 因为,, 所以当x∈(1,x2)时,f′(x)<0;当x∈(x2,+∞)时,f′(x)>0;当x=x2时,f′(x)=0, 从而函数f(x)在区间(1,x2)上单调递减,在区间(x2,+∞)上单调递增; 综上所述,当b≤2时,函数f(x)的单调增区间为(1,+∞); 当b>2时,函数f(x)的单调减区间为,单调增区间为。 (Ⅱ)由题设知,g(x)的导函数g′(x)=h(x)(x2-2x+1),其中函数h(x)>0对于任意的x∈(1,+∞)都成立, 所以,当x>1时,g′(x)=h(x)(x-1)2>0, 从而g(x)在区间(1,+∞) 上单调递增. ①当m∈(0,1)时,有α=mx1+(1-m)x2> mx1+(1-m)x1=x1, α<mx2+(1-m)x2=x2,得α∈(x1,x2),同理可得β∈(x1,x2), 所以由g(x)的单调性知g(α),g(β)∈(g(x1),g(x2)), 从而有|g(α)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,符合题设; ②当m≤0时,α=mx1+(1-m)x2≥mx2+(1-m)x2=x2,β=(1-m)x1+mx2≤(1-m)x1+mx1=x1, 于是由α>1,β>1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x1)<g(x2)≤g(α), 所以|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|,与题设不符; ③当m≥1时,同理可得α≤x1,β≥x2,进而得|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|,与题设不符; 因此,综合①②③得所求的m的取值范围为(0,1)。 |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f′(x),如果存在..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。