设函数f(x)=ax-1x+1；其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=ax-1x+1；其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）求a的取值范..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=

ax-1

x+1

；其中a∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由

ax-1

x+1

≤1，化为

(a-1)x-2

x+1

≤0．（1分）
当a=1时，不等式化为

-2

x+1

≤0，解集为{x|x＞-1}．（3分）
当a＞1时，有

2

a-1

＞-1，解集为{x|-1＜x≤

2

a-1

}．（5分）
当a=-1时，不等式化为

-2(x+1)

x+1

≤ 0，解集为{x|x∈R，x≠-1}．（8分）
当a＜-1时，有

2

a-1

＞-1，a-1＜0，
不等式

(a-1)x-2

x+1

≤0的解集为{x|x＜-1，或 x＞

2

a-1

}．（10分）
（Ⅱ）任取 0＜x₁＜x₂，且则f(x2)-f(x1)=

ax2-1

x2+1

-

ax1-1

x1-1

（11分）
=

(a+1)(x2-x1)

(x2+1)(x1+1)

．（12分）
因x₂＞x₁故x₂-x₁＞0，又在（0，+∞）上有 x₂+1＞0，x₁+1＞0，
∴只有当a+1＜0时，即a＜-1时．才总有f（x₂）-f（x₁）＜0．
∴当a＜-1时，f（x）在（0，+∞）上是单调减函数．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=ax-1x+1；其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）求a的取值范..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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