已知定义在R上恒不为0的函数y=f（x），当x＞0时，满足f（x）＞1，且对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）．（1）求f（0）的值；（2）证明f(-x)=-1f(x)；（3）证明函数y=f（x）是R上的增函数-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在R上恒不为0的函数y=f（x），当x＞0时，满足f（x）＞1，且对..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知定义在R上恒不为0的函数y=f（x），当x＞0时，满足f（x）＞1，且对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）证明f(-x)=-

1

f(x)

；
（3）证明函数y=f（x）是R上的增函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题设，令x=y=0，
恒等式可变为f（0+0）=f（0）f（0），
解得f（0）=1，
（2）令y=-x，则由f（x+y）=f（x）f（y）得
f（0）=1=f（x）f（-x），即得f(-x)=-

1

f(x)

．
（3）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
由题设x＞0时，f（x）＞1，可得f（x₂-x₁）＞1，
f（x₂）=f（x₁）f（x₂-x₁）?f（x₂）÷f（x₁）=f（x₂-x₁）＞1，
又f（

1

2

x₁+

1

2

x₁）=f（

1

2

x₁）f（

1

2

x₁）=f²（

1

2

x₁）≥0?f（x₁）≥0，
故有f（x₂）＞f（x₁）
所以 f（x）是R上增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在R上恒不为0的函数y=f（x），当x＞0时，满足f（x）＞1，且对..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：