已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）-3（1）求f（1）的值；（2）求证：f(x)+f(1x)=6(x＞0)；（3）若x＞1时，f（x）＜3，判断f（x）在其定义域上的单调性-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对定义域内的任意x，y都有f（xy）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）-3
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f(x)+f(

1

x

)=6(x＞0)；
（3）若x＞1时，f（x）＜3，判断f（x）在其定义域上的单调性，并证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），因此令x=y=1得
     f（1?1）=f（1）+f（1）-3，可得：
     f（1）=3                       （2分）
    （2）由已知以及（1）的结论可得f(1)=f(x?

1

x

)=f(x)+f(

1

x

)-3=3
即有：f(x)+f(

1

x

)=6(x＞0)      （7分）
    （3）f（x）是（0，+∞）上的减函数（9分），证明如下：
     设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∵

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＜3，f(x2)+f(

1

x1

)-3＜3，
f(x2)＜6-f(

1

x1

)=f(x1)．
∴f（x）是（0，+∞）上的减函数．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对定义域内的任意x，y都有f（xy）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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