对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”现有四个函数：①f（x）=ex②f（x）=x3③f(x)=sinπ2x④f（x）=lnx，其中存在“稳-数学试题及答案

1、试题题目：对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-27 07:30:00

试题原文

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”现有四个函数：
①f（x）=e^x②f（x）=x³③f(x)=sin

π

2

x④f（x）=lnx，其中存在“稳定区间”的函数有（　　）

A．①②

B．②③

C．③④

D．②④

试题来源：不详试题题型：单选题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①对于函数f（x）=e^x若存在“稳定区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有e^a=a，e^b=b，
即方程e^x=x有两个解，即y=e^x和y=x的图象有两个交点，这与即y=e^x和y=x的图象没有公共点相矛盾，故①不存在“稳定区间”．
②对于f（x）=x³存在“稳定区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=x³∈[0，1]．
③对于f(x)=sin

π

2

x，存在“稳定区间”，如 x∈[0，1]时，f(x)=sin

π

2

x∈[0，1]．
④对于 f（x）=lnx，若存在“稳定区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有lna=a，且lnb=b，即方程lnx=x 有两个解，
即y=lnx 和 y=x的图象有两个交点，这与y=lnx 和 y=x的图象没有公共点相矛盾，故④不存在“稳定区间”．
故选 B．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}..”的主要目的是检查您对于考点“高中指数函数的解析式及定义（定义域、值域）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中指数函数的解析式及定义（定义域、值域）”。

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