已知α、β都是锐角，且sinβsinα=cos（α+β）．（1）求证：tanβ=tanα1+2tan2α；（2）当tanβ取最大值时，求tan（α+β）的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知α、β都是锐角，且sinβsinα=cos（α+β）．（1）求证：tanβ=tanα1+2ta..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-28 07:30:00

试题原文

已知α、β都是锐角，且

sinβ

sinα

=cos（α+β）．
（1）求证：tanβ=

tanα

1+2tan2α

；
（2）当tanβ取最大值时，求tan（α+β）的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：同角三角函数的基本关系式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：∵tanβ=

sinβ

cosβ

=

sinαcos(α+β)

cosβ

=

sinα(cosαcosβ-sinαsinβ)

cosβ

=sinαcosα-sin²αtanβ
∴（1+sin²α）tanβ=sinαcosα
∴tanβ=

sinαcosα

1+sin2α

=

tanα

1+sin2α

cos2α

=

tanα

cos2α+2sin2α

cos2α

=

tanα

1+2tan2α

（2）∵tanα＞0，tanβ＞0
∴tanβ=

1

tanα

+2tanα

≤

1

2

当且仅当

1

tanα

=2tanα，即tanα=

2

时，
tanβ_max=

2

1+2×

1

2

=

2

4

∴tan（α+β）=

2

+

2

4

1-

2

×

2

4

=

3

2

4

×

4

3

=

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知α、β都是锐角，且sinβsinα=cos（α+β）．（1）求证：tanβ=tanα1+2ta..”的主要目的是检查您对于考点“高中同角三角函数的基本关系式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中同角三角函数的基本关系式”。

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