己知F1，F2分别是双曲线x2-y2b2=1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|=2且∠F1AF2=45°．廷长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB及的面积等于_____

1、试题题目：己知F1，F2分别是双曲线x2-y2b2=1的左、右焦点，A是双曲线上在第..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

己知F₁，F₂分别是双曲线x2-

y2

b2

=1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF₂|=2且∠F₁AF₂=45°．廷长AF₂交双曲线右支于点B，则△F₁AB及的面积等于______．

试题来源：温州二模试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

如图所示，由双曲线的方程可知：a=1．
魔方格

∴|AF₁|-|AF₂|=2，
∵|AF₂|=2，∴|AF₁|=4．
∴|F1F2|2=（2c）²=4²+2²-2×4×2×cos45°，化为c2=5-2

2

，
∴b2=c2-1=4-2

2

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则

(x1-c)2+

y

21

=2

b2

x

21

-

y

21

=b2

，化为c2

x

21

-2cx1-3=0．
解得x1=

3

c

，x1=-

1

c

（舍去）．
由此解出A的坐标为（

3

c

，

4-(

3

c

-c)2

），
设直线AB方程为x=my+c，与双曲线x2-

y2

b2

=1联解，可得(m2-

1

b2

)y2+2cmy+b2=0
由根与系数的关系，得到

y1+y2=

2cm

1

b2

-m2

y 1y2=

b2

m2-

1

b2

，结合y₁=

4-(

3

c

-c)2

化简得到|y₂|=（

2

-1）y₁
∴

S△BF1F2

S△AF1F2

=|

y2

y1

|=

2

-1
∵双曲线中，△AF₁F₂的面积S △AF 1F2=

b2

tan22.5°

=

4-2

2

-1

=2

2

∴△BF₁F₂的面积S △BF 1F2=（

2

-1）S △AF 1F2=4-2

2

由此可得△F₁AB及的面积S=S △AF 1F2+S △BF 1F2=4
故答案为：4

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“己知F1，F2分别是双曲线x2-y2b2=1的左、右焦点，A是双曲线上在第..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：