已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．设P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）-数学试题及答案

1、试题题目：已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-26 07:30:00

试题原文

已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．设P₁（x₁，y₁），P₂=f（P₁），P₃=f（P₂），…，P_n=f（P_n-1），…．如果存在一个圆，使所有的点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P_n（x_n，y_n）的一个收敛圆．特别地，当P₁=f（P₁）时，则称点P₁为映射f下的不动点．若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(-x+1，

1

2

y)．
（Ⅰ）求映射f下不动点的坐标；
（Ⅱ）若P₁的坐标为（2，2），求证：点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）存在一个半径为2的收敛圆．

试题来源：西城区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数、映射的概念

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设不动点的坐标为P₀（x₀，y₀），
由题意，得

x0=-x0+1

y0=

1

2

y0

，解得x0=

1

2

， y0=0，
所以此映射f下不动点为P0(

1

2

， 0)．

（Ⅱ）证明：由P_n+1=f（P_n），得

xn+1=-xn+1

yn+1=

1

2

yn

，
所以xn+1-

1

2

=-(xn-

1

2

)， yn+1=

1

2

yn，
因为x₁=2，y₁=2，
所以xn-

1

2

≠0， yn≠0，
所以

xn+1-

1

2

xn-

1

2

=-1，

yn+1

yn

=

1

2

，
由等比数列定义，得数列{xn-

1

2

}(n∈N^*）是公比为-1，首项为x1-

1

2

=

3

2

的等比数列，
所以xn-

1

2

=

3

2

×(-1)n-1，则xn=

1

2

+(-1)n-1×

3

2

．
同理yn=2×(

1

2

)n-1．
所以Pn(

1

2

+(-1)n-1×

3

2

， 2×(

1

2

)n-1)．
设A(

1

2

， 1)，则|APn|=

(

3

2

)2+[1-2×(

1

2

)n-1]2

，
因为0＜2×(

1

2

)n-1≤2，
所以-1≤1-2×(

1

2

)n-1＜1，
所以|APn|≤

(

3

2

)2+1

＜2．
故所有的点P_n（n∈N^*）都在以A(

1

2

， 1)为圆心，2为半径的圆内，
即点P_n（x_n，y_n）存在一个半径为2的收敛圆．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数、映射的概念”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数、映射的概念”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：