设函数f（x）=x|x﹣a|+b．（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．（2）设常数b＜﹣1，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x|x﹣a|+b．（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-21 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x|x﹣a|+b．
（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a²+b²=0．
（2）设常数b＜﹣1，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：四川省期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：充分条件与必要条件

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：充分性：若a²+b²=0，则a=b=0，
∴f（x）=x|x|对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0
∴f（x）为奇函数，故充分性成立
必要性：若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，
∴f（0）=0，解得b=0，
∴f（x）=x|x﹣a|，
由f（1）+f（﹣1）=0，即|1﹣a|﹣|a+1|=0，|1﹣a|=|1+a|得：a=0．
∴a²+b²=0．
故f（x）为奇函数的充要条件是a²+b²=0
（2）解：由b＜﹣1＜0，
当x=0时a取任意实数不等式恒成立
当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+

＜a＜x﹣

恒成立
令g（x）=x+

在0＜x≤1上单调递增，
∴a＞g（x）_max=g（1）=1+b
令h（x）=x﹣

，则h（x）在（0，

]上单调递减，[

，+∞）单调递增，
当b＜﹣1时h（x）=x﹣

在0＜x≤1上单调递减，
∴a＜h（x）_min=h（1）=1﹣b．
∴1+b＜a＜1﹣b

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x|x﹣a|+b．（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中充分条件与必要条件”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：