试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和．-数学试题及答案

1、试题题目：试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-04-08 07:30:00

试题原文

试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：有理数定义及分类

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：直观上可以这样看，当n＞6时，在2，3，…，n-2中，必有一个数A与n互质（2≤A≤n-2），
记B=n-A≥2，有n=A+B，
此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d＞1，则d也是n的约数，从而A与n有大于1的公约数，与A、n互质矛盾．
（1）当n为奇数时，
n=2+（n-2），或n=

n-1

2

+

n+1

2

（2）当n为偶数，但不是4的倍数时，n=

n-4

2

+

n+4

2

，
由n＞6知

n-4

2

＞1，且

n+4

2

、

n-4

2

均为奇数，
（

n-4

2

，

n+4

2

）=（

n-4

2

，4）=1．
（3）当n为偶数，且又是4的倍数时，有n=

n-2

2

+

n+2

2

，
由n＞6知

n-2

2

＞1，且

n-2

2

、

n+2

2

均为奇数，
（

n-2

2

，

n+2

2

）=（

n-2

2

，2）=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数..”的主要目的是检查您对于考点“初中有理数定义及分类”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中有理数定义及分类”。

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