已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+2n=2an（1）证明：数列{an+2}是等比数列．并求数列{an}的通项公式an；（2）若数列{bn}满足bn=log2（an+2），设Tn是数列{bnan+2}的前n项和．求证：T-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+2n=2an（1）证明：数列{an+2}是..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+2n=2a_n
（1）证明：数列{a_n+2}是等比数列．并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），设T_n是数列{

bn

an+2

}的前n项和．求证：Tn＜

3

2

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）由S_n+2n=2a_n得 S_n=2a_n-2n
当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n，①
当n=1 时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，
则当n≥2，n∈N^*时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴

an+2

an-1+2

=2，
∴{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+2=4?2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）证明：由b_n=log₂（a_n+2）=log22n+1=n+1，
得

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
则Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，③

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

④
③-④，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1

4

(1-

1

2 n

)

1-

1

2

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1

2

-

1

2 n+1

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

，
所以 Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

＜

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+2n=2an（1）证明：数列{an+2}是..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：