在数列{an}中，已知an≥1，a1=1且an+1-an=2an+1+an-1(n∈N*)（I）求数列{an}的通项公式；（II）令cn=(2an-1)2，Sn=1c1c2+1c2c3+…+1cncn+1，若Sn＜k恒成立，求k的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，已知an≥1，a1=1且an+1-an=2an+1+an-1(n∈N*)（I）求数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，已知an≥1，a1=1且an+1-

a

n

=

2

an+1+an-1

(n∈N*)
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）令cn=(2an-1)2，Sn=

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

，若S_n＜k恒成立，求k的取值范围．

试题来源：邯郸模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）因为an+1-an=

2

an+1+an-1

，
所以a_n+1²-a_n²-a_n+1+a_n=2，
即(an+1-

1

2

)2-(an-

1

2

)2=2，--（2分）
令bn=(an-

1

2

)2
b_n+1-b_n=2，
故{b_n}是以

1

4

为首项，2为公差的等差数列．
所以bn=

1

4

+2(n-1)=

8n-7

4

，--（4分）
因为a_n≥1，故an=

1+

8n-7

2

．--（6分）
（II）因为c_n=（2a_n-1）²=8n-7，
所以

1

cncn+1

=

1

(8n-7)(8n+1)

=

1

8

(

1

8n-7

-

1

8n+1

)，--（8分）
所以Sn=

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

=

1

8

(1-

1

9

+

1

9

-

1

17

+…+

1

8n-7

-

1

8n+1

)
=

1

8

(1-

1

8n+1

)＜

1

8

，--（10分）
因为S_n＜k恒成立，
故k≥

1

8

．--（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，已知an≥1，a1=1且an+1-an=2an+1+an-1(n∈N*)（I）求数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：