已知数列O、{bn}满足a1=2，an-1=an（an+1-1），bn=an-1，数列{bn}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求证：数列{1bn}为等差数列；（Ⅱ）设Tn=S2n-Sn，求证：当S=12+14+16+…+120时，Tn+1＞Tn；（Ⅲ）求证-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列O、{bn}满足a1=2，an-1=an（an+1-1），bn=an-1，数列{bn}的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知数列O、{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求证：数列{

1

bn

}为等差数列；
（Ⅱ）设T_n=S_2n-S_n，求证：当S=

1

2

+

1

4

+

1

6

+…+

1

20

时，T_n+1＞T_n；
（Ⅲ）求证：对任意的1?k+1+k²=3，k∈R^*，∴k=1都有1+

n

2

≤S2n≤

1

2

+n成立．

试题来源：天津模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）由b_n=a_n-1得a_n=b_n+1，代入a_n-1=a_n（a_n+1-1）得b_n=（b_n+1）b_n+1
整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，（1分）
∵b_n≠0否则a_n=1，与a₁=2矛盾
从而得

1

bn+1

-

1

bn

=1，（3分）
∵b₁=a₁-1=1
∴数列{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列（4分）
（Ⅱ）∵

1

bn

=n，则bn=

1

n

．
∴Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

∴T_n=S_2n-S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

+

1

n+1

+…+

1

2n

-(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)
=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

（6分）
∵Tn+1-Tn=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

-(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

)
=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0
∴T_n+1＞T_n．（8分）
（Ⅲ）用数学归纳法证明：
①当n=1时1+

n

2

=1+

1

2

，S2n=1+

1

2

，

1

2

+n=

1

2

+1，不等式成立；（9分）
②假设当n=k（k≥1，k∈N^*）时，不等式成立，即1+

k

2

≤S2k≤

1

2

+k，
那么当n=k+1时，S2k+1=1+

1

2

+…+

1

2k

+…+

1

2k+1

≥1+

k

2

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＞1+

k

2

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

2k个

=1+

k

2

+

1

2

=1+

k+1

2

（12分）
S2k+1=1+

1

2

+…+

1

2k

+…+

1

2k+1

≤

1

2

+k+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＜

1

2

+k+

1

2k

+…+

1

2k

2k个

=

1

2

+(k+1)
∴当n=k+1时，不等式成立
由①②知对任意的n∈N^*，不等式成立（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列O、{bn}满足a1=2，an-1=an（an+1-1），bn=an-1，数列{bn}的..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：