规定Cmx=x(x-1)…(x-m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且CX0=1．这是组合数Cnm（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．（1）求C-153的值；（2）组合数的两个性质：①Cnm=Cnn-m；②Cnm+Cnm-1=Cn+-数学试题及答案

1、试题题目：规定Cmx=x(x-1)…(x-m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且CX0=1．这是组..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-28 07:30:00

试题原文

规定

C

mx

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

，其中x∈R，m是正整数，且C_X⁰=1．这是组合数C_n^m（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求C_-15³的值；
（2）组合数的两个性质：①C_n^m=C_n^n-m；②C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m是否都能推广到C_x^m（x∈R，m∈N^*）的情形？若能推广，请写出推广的形式并给予证明；若不能请说明理由．
（3）已知组合数C_n^m是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，C_x^m∈Z．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：排列与组合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意C_-15³=

-15×(-16)×(-17)

3!

=-C₁₇³=-680 …（4分）
（2）性质①C_n^m=C_n^n-m不能推广，例如x=

2

时，

C

1

2

有定义，但

C

2

-1

2

无意义；
性质②C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m 能推广，它的推广形式为C_x^m+C_x^m-1=C_x+1^m，x∈R，m∈N^*
证明如下：当m=1时，有C_x¹+C_x⁰=x+1=C_x+1¹； …（1分）
当m≥2时，有C_x^m+C_x^m-1=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

+

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

=

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

×(

(x-m+1)

m

+1)=

x(x-1)…(x-m+1)(x+1)

m!

=C_x+1^m，（6分）
（3）由题意，x∈Z，m是正整数时
当x≥m时，组合数C_x^m∈z成立；
当0≤x＜m 时，

C

mx

=

x(x-1)(x-2)???0???(x-m+1)

m!

=0∈Z，结论也成立；
当x＜0时，因为-x+m-1＞0，∴C_x^m=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

=（-1）^m

(-x+m-1)…(-x+1)(-x)

m!

=（-1）^mC_-x+m-1^m∈z（7分）
综上所述当x∈Z，m是正整数时，C_x^m∈Z

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“规定Cmx=x(x-1)…(x-m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且CX0=1．这是组..”的主要目的是检查您对于考点“高中排列与组合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中排列与组合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：