已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），直线：x+y=m与x轴的交点在抛物线C准线的右侧．（Ⅰ）求证：直线与抛物线C恒有两个不同交点；（Ⅱ）已知定点A（1，0），若直线与抛物线C的交点为Q，R，-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），直线：x+y=m与x轴的交点在抛..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

已知抛物线C的方程为y²=2px（p＞0），直线：x+y=m与x轴的交点在抛物线C准线的右侧．
（Ⅰ）求证：直线与抛物线C恒有两个不同交点；
（Ⅱ）已知定点A（1，0），若直线与抛物线C的交点为Q，R，满足

AQ

?

AR

=0，是否存在实数m，使得原点O到直线的距离不大于

2

4

，若存在，求出正实数p的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：浙江模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：由题知m＞-

p

2

，
联立x+y=m与y²=2px，消去x可得y²+2py-2pm=0…（*）
∵p＞0且m＞-

p

2

，∴△=4p²+8pm＞0，
所以直线l与抛物线C恒有两个不同交点； …4分
（Ⅱ）设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），由（*）可得y₁+y₂=-2p，y₁?y₂=-2pm
故

AQ

?

AR

=(x1-1，y1)?(x2-1，y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2

=(m-1-y1)(m-1-y2)+y1y2

=2y₁y₂+（1-m）（y₁+y₂）+（m-1）²=m²-（2+2p）m+1-2p=0
∴p=

(m-1)2

2(m+1)

=

m+1

2

+

2

m+1

-2
又由原点O到直线l的距离不大于

2

4

，则有-

1

2

≤m≤

1

2

，
由（Ⅰ）有m＞-

p

2

，即m＞-

1

4

(m-1)2

m+1

，结合-

1

2

≤m≤

1

2

，化简该不等式得：5m²+2m+1＞0，恒成立，
∴-

1

2

≤m≤

1

2

，令t=m+1，则t∈[

1

2

，

3

2

]
而函数y=

t

2

+

2

t

-2在[

1

2

，

3

2

]上单调递减，∴

1

12

≤p≤

9

4

∴存在m且-

1

2

≤m≤

1

2

，实数p的取值范围为[

1

12

，

9

4

]．…10分．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），直线：x+y=m与x轴的交点在抛..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：