（附加题）已知圆O：x2+y2=4与x轴正半轴交于点A，在圆上另取两点B，C，使∠BAC=π4，平面上点G满足GA+GB+GC=0，求点G的轨迹方程．-数学试题及答案

1、试题题目：（附加题）已知圆O：x2+y2=4与x轴正半轴交于点A，在圆上另取两点B，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

（附加题）已知圆O：x²+y²=4与x轴正半轴交于点A，在圆上另取两点B，C，使∠BAC=

π

4

，平面上点G满足

GA

+

GB

+

GC

=

0

，求点G的轨迹方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

法1：由

GA

+

GB

+

GC

=

0

，知点G即△ABC的重心，
圆O：x²+y²=4与x轴正半轴交于点A，
易知A（2，0）因为B、C在圆x²+y²=4上，故设点B（2cosθ，2sinθ）．
由∠BAC=

π

4

，则∠B0C=

π

2

，
则点C的坐标为(2cos(θ+

π

2

)，2sin(θ+

π

2

))，
由重心坐标公式得轨迹的参数方程：

x=

1

3

(2+2cosθ+2cos(θ+

π

2

))

y=

1

3

(2sinθ+2sin(θ+

π

2

))

（θ为参数）
即

x=

1

3

(2+2cosθ-2sinθ)

y=

1

3

(2sinθ+2cosθ)

化为普通方程是：(x-

2

3

)2+y2=

8

9

，轨迹为以点(

2

3

，0)为圆心，

2

3

为半径的圆．
法2：由∠BAC=

π

4

，则∠B0C=

π

2

，设BC的中点为P，易求得OP=

2

．
故点P的轨迹方程为x²+y²=2，
连接AP，因为点G为△ABC的重心，所以点G为AP的一个三等分点．
由坐标转移法同理求得点G的轨迹方程为：(x-

2

3

)2+y2=

8

9

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（附加题）已知圆O：x2+y2=4与x轴正半轴交于点A，在圆上另取两点B，..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。

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