发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-18 07:30:00
解：（Ⅰ）由知，，而h（0）=0，且，则x=0为h（x）的一个零点，且h（x）在（1，2）内有零点，因此h（x）至少有两个零点，，记，则，当时，，因此ψ（x）在（0，+∞）上单调递增，则ψ（x）在（0，+∞）内至多只有一个零点。又因为，则ψ（x）在内有零点，所以ψ（x）在（0，+∞）内有且只有一个零点。记此零点为x1，则当时，；当时，；所以，当时，h（x）单调递减，而h（0）=0，则h（x）在内无零点；当时，h（x）单调递增，则h（x）在内至多只有一个零点；从而h（x）在（0，+∞）内至多只有一个零点；综上所述，h（x）有且只有两个零点。 （Ⅱ）记h（x）的正零点为x0，即，（1）当时，由，即，而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：①当n=1时，显然成立； ②假设当时，有成立，则当n=k+1时，由知，，因此，当n=k+1时，成立。故对任意的n∈N*，成立。（2）当时，由（1）知，h（x）在上单调递增，则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：①当n=1时，显然成立；②假设当n=k（k≥1）时，有成立，则当n=k+1时，由知，，因此，当n=k+1时，成立。故对任意的n∈N*，成立。综上所述，存在常数，使得对于任意的n∈N*，都有。
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x3，g(x)=x+。（Ⅰ）求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数零点的判定定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数零点的判定定理”。
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，
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时，h（x）单调递减，而h（0）=0，则h（x）在
内无零点；
时，h（x）单调递增，则h（x）在
内至多只有一个零点；
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显然成立； 
时，有
成立，
知，
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成立。
成立。
时，由（1）知，h（x）在
上单调递增，则
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，由此猜测：
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显然成立；
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成立。
，使得对于任意的n∈N*，都有
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