已知函数f（x）=1-42ax+a（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的值域；（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，tf（x）≤2x-2恒成立，求实数t的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=1-42ax+a（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-10 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，tf（x）≤2^x-2恒成立，求实数t的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
又f(x)=

2ax+a-4

2ax+a

∴

2a-x+a-4

2a-x+a

=-

2ax+a-4

2ax+a

，
即（a-2）[2a^2x+（a-2）a^x+2]=0对任意x恒成立，
∴a=2 …（4分）
（Ⅱ）∵y=1-

4

2?2x+2

=1-

2

2x+1

又∵2^x＞0，∴2^x+1＞1
∴0＜

2

2x+1

＜2，-1＜1-

2

2x+1

＜1
∴函数f（x）的值域（-1，1）…（7分）
（Ⅲ）由题意得，当x≥1时，t(1-

2

2x+1

)≤2x-2
即t?

2x-1

2x+1

≤2x-2恒成立，
∵x≥1，∴2^x≥2，
∴t≤

(2x-2)?(2x+1)

2x-1

（x≥1）恒成立，…（9分）
设u(x)=

(2x-2)?(2x+1)

2x-1

=2x-

2

2x-1

(x≥1)
下证u（x）在当x≥1时是增函数．
任取x₂＞x₁≥1，则u(x2)-u(x1)=2x2-

2

2x2-1

-2x1+

2

2x1-1

=(2x2-2x1)?(1+

2

(2x1-1)?(2x2-1)

)＞0…（11分）
∴当x≥1时，u（x）是增函数，
∴u（x）_min=u（1）=0
∴t≤u（x）_min=u（1）=0
∴实数t的取值范围为t≤0．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=1-42ax+a（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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