已知a＞0且a≠1，f（logax）=1a2-1（x-1x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）试判定函数f（x）的奇偶性与单调性，并证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知a＞0且a≠1，f（logax）=1a2-1（x-1x）．（1）求函数f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知a＞0且a≠1，f（log_ax）=

1

a2-1

（x-

1

x

）．
（1）求函数f（x）的解析式；（2）试判定函数f（x）的奇偶性与单调性，并证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令log_ax=t，则x=a^t，得f（t）=（a^t-a^-r），（4分）
所以f（x）=

1

a2-1

（a^x-a^-x）（6分）
（2）因为f（x）定义域为R，
又f（-x）=

1

a2-1

（a^-x-a^x）
=-

1

a2-1

（a^x-a^-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数（9分）
任取x₁＜x₂
则f（x₂）-f（x₁）=

1

a2-1

（ax2-ax1）（1+a-(x1+x2)）（11分）
因为当a＞0且a≠1，恒有f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x）为增函数（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a＞0且a≠1，f（logax）=1a2-1（x-1x）．（1）求函数f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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