已知函数f(x)=13x3-2ax2+3a2x-1(a＞1)．（Ⅰ）求函数y=f（x）的极小值；（Ⅱ）若对任意x∈[-1，2]，恒有f（x）≤2a2-1，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3-2ax2+3a2x-1(a＞1)．（Ⅰ）求函数y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

x3-2ax2+3a2x-1(a＞1)．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的极小值；
（Ⅱ）若对任意x∈[-1，2]，恒有f（x）≤2a²-1，求a的取值范围．

试题来源：衢州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=x²-4ax+3a²=（x-a）（x-3a），
因为a＞1，所以3a＞a，
∴f（x）的极小值为f（3a）=-1

（Ⅱ）若1＜a≤2时，当x∈[-1，a]时f^/（x）＞0，f（x）在[-1，a]上递增，
当x∈[a，2]时f^/（x）＜0，f（x）在[a，2]上递减，
所以f（x）的最大值为f（a）=

4

3

a2-1，
令

4

3

a2-1≤2a2-1?a∈R，又1＜a≤2，所以1＜a≤2；
若a＞2时，当x∈[-1，2]时f^/（x）＞0，f（x）在[-1，2]上递增，
所以f（x）的最大值为f（2）=6a²-8a+

5

3

，
令6a2-8a+

5

3

≤2a2-1?3a2-6a+2≤0?1-

6

3

＜a＜1+

6

3

，
又a＞2，所以无解．
由上可知1＜a≤2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3-2ax2+3a2x-1(a＞1)．（Ⅰ）求函数y..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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