设f(x)=(x+1x)2（x＞0）．（1）求f（x）的反函数f-1（x）（2）若x≥2时，不等式(x-1)f-1(x)＞a(a-x)恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设f(x)=(x+1x)2（x＞0）．（1）求f（x）的反函数f-1（x）（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

设f(x)=(

x+1

x

)2（x＞0）．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）
（2）若x≥2时，不等式(x-1)f-1(x)＞a(a-

x

)恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵y=(

x+1

x

)2=(1+

1

x

)2（x＞0）∴y＞1（2分）
由原式有：

x+1

x

=

y

∴x+1=

y

x
∴x=

1

y

-1

（2分）
∴f-1(x)=

1

x

-1

x∈（1，+∞）（2分）
（2）∵(x-1)f-1(x)＞a(a-

x

)
∴(x-1)

1

x

-1

＞a(a-

x

)（x＞0）
∴(

x

+1)(

x

-1)

1

x

-1

＞a(a-

x

)
∴

x

+1＞a2-a

x

∴(a+1)

x

＞a2-1（2分）
①当a+1＞0即a＞-1时

x

＞a-1对x≥2恒成立-1＜a＜

2

+1
②当a+1＜0即a＜-1时

x

＜a-1对x≥2恒成立
∴a＞

2

+1此时无解（3分）
综上-1＜a＜

2

+1-（1分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f(x)=(x+1x)2（x＞0）．（1）求f（x）的反函数f-1（x）（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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