设函数f（x）=（1+x）2-ln（1+x）2。（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程x2+x+a=f（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=（1+x）2-ln（1+x）2。（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²。
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当

时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程x²+x+a=f（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围。

试题来源：湖北省模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）函数的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）

由f'（x）>0，得-2 ＜x＜-1或x>0；
由f'（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0
所以f（x）的递增区间是（-2，-1），（0，+∞）；
递减区间是（-∞，-2），（-1，0）。
（2）由（1）知f（x）在

上单调递减，在[0，e-1]上单调递增
又

且

所以当

时，f（x）_max=e²-2
因为当

时，不等式f（x）＜m恒成立，
所以m>f（x）_max，即m>e²-2，
故m的取值范围为（e²-2，+∞）。
（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0
记g（x）=x-a+1-ln（1+x）²，则

由g'（x）>0，得x＜-1或x>1；
由g'（x）＜0，得-1＜x＜1
所以g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增
为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异的实根，
只需g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，
于是有

即

解得2-2ln2＜a≤3-2ln3
故实数a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3]。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=（1+x）2-ln（1+x）2。（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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