已知x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x，（x∈R）的一个极值点．（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＞0时，求f（x）在[0，4]上的值域．-数学试题及答案

1、试题题目：已知x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x，（x∈R）的一个极值点．（Ⅰ）求a与b..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知x=3是函数f（x）=（x²+ax+b）e^3-x，（x∈R）的一个极值点．
（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，求f（x）在[0，4]上的值域．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f'（x）=（2x+a）e^3-x-（x²+ax+b）e^3-x=-[x²+（a-2）x+b-a]e^3-x
由f'（3）=0得b=-3-2a…3
f'（x）=-（x-3）（x+a+1）e^3-x
（1）当-a-1＞3，即a＜-4时，
令f'（x）＞0得3＜x＜-a-1
令f'（x）＜0得x＜3或x＞-a-1．
（2）当-a-1=3，即a=-4时，f'（x）=-（x-3）²e^3-x，
由于-（x-3）²≤0，且e^3-x＞0，
故f'（x）=-（x-3）²e^3-x≤0恒成立；
（3）当-a-1＜3，即a＞-4时，
令f'（x）＞0得-a-1＜x＜3
令f'（x）＜0得x＜-a-1或x＞3，
综上述：
（1）当a＜-4时f（x）的单调递增区间为（3，-a-1），递减区间（-∞，3），（-a-1，+∞）
（2）当a＞-4时f（x）的单调递增区间为（-a-1，3），递减区间（-∞，-a-1），（3，+∞）
（3）当a=-4时f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．…8
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[min（f（0），f（4）），f（3）]，
而f（0）=-（2a+3）e³＜0，f（4）=（2a+13）e^-1＞0，f（3）=a+6，
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[-（2a+3）e³，a+6]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x，（x∈R）的一个极值点．（Ⅰ）求a与b..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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