已知函数f(x)=x3-12x2+bx+c．（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极值，且x∈[-1，2]时，f（x）＜c2-c-1恒成立，求c的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x3-12x2+bx+c．（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，求b..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x3-

1

2

x2+bx+c．
（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极值，且x∈[-1，2]时，f（x）＜c²-c-1恒成立，求c的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f'（x）=3x²-x+b，
∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，∴f'（x）≥0恒成立．
∴△=1-12≤0，解得b≥

1

12

．
∴b 的取值范围为[

1

12

，+∞)．
（Ⅱ）由题意知x=1是方程3x²-x+b=0的一个根，
设另一根为x₀，则

x0+1=

1

3

x0×1=

b

3

∴

x0=-

2

3

b=-2

即f'（x）=3x²-x-2．在[-1，2]上f（x）、f'（x）的函数值随x 的变化情况如下表：

x

-1

(-1，-

2

3

)

-

2

3

(-

2

3

，1)

1

（1，2）

2

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

1

2

+c

递增

极大值

22

27

+c

递减

极小值-

3

2

+c

递增

2+c

∴当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c，
∵当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²-c-1恒成立，
∴2+c＜c²-c-1?c²-2c-3＞0?c＜-1或c＞3，
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（3，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x3-12x2+bx+c．（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，求b..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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