已知函数f（x）=lnx，g(x)=12x2，（1）设函数F（x）=2g（x）-f（x），求F（x）的极小值．（2）设函数F（x）=ag（x）-f（x），（a＞0），若F（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．（3）若x1＞x2＞0，总有m[g（x1-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx，g(x)=12x2，（1）设函数F（x）=2g（x）-f（x），求F（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2，
（1）设函数F（x）=2g（x）-f（x），求F（x）的极小值．
（2）设函数F（x）=ag（x）-f（x），（a＞0），若F（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
（3）若x₁＞x₂＞0，总有m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）成立，求实数m的取值范围．

试题来源：温州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）F(x)=

a

2

x2-lnx，F′(x)=ax-

1

x

=

ax2-1

x

…（2分）
因a＞0时，令F′（x）≥0，则x≥

1

a

，故F（x）在(0，

1

a

)上单调递减，在(

1

a

，+∞)上单调递增，
故F（x）在（0，+∞）上的最小值为F(

1

a

)=

1

2

+

1

2

lna，…（4分）
（2）由（1）得：故F（x）在（0，+∞）上的最小值为F(

1

a

)=

1

2

+

1

2

lna＞0，…（5分）
解得a＞

1

e

，所以a取值范围是(

1

e

，+∞)…（6分）
（3）已知可转化为x₁＞x₂＞0时，mg（x₁）-x₁f（x₁）≥mg（x₂）-x₂f（x₂）恒成立，
令h(x)=mg(x)-xf(x)=

m

2

x2-xlnx，则h（x）为单调递增的函数，…（8分）
故h′（x）=mx-lnx-1≥0恒成立，即m≥

lnx+1

x

恒成立 …（10分）
令m(x)=

lnx+1

x

，则m′(x)=-

lnx

x2

，所以
当x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增
当x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减m（x）≤m（1）=1，故m≥1…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx，g(x)=12x2，（1）设函数F（x）=2g（x）-f（x），求F（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：