已知an=(1+2)n(n∈N*)．（1）若an=a+b2(a，b∈Z)，求证：a是奇数；（2）求证：对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得an=k-1+k．-数学试题及答案

1、试题题目：已知an=(1+2)n(n∈N*)．（1）若an=a+b2(a，b∈Z)，求证：a是奇数；（2）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-14 07:30:00

试题原文

已知an=(1+

2

)n(n∈N*)．
（1）若an=a+b

2

(a，b∈Z)，求证：a是奇数；
（2）求证：对于任意n∈N^*，都存在正整数k，使得an=

k-1

+

k

．

试题来源：江苏二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二项式定理与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由二项式定理，得a_n=(1+

2

)n=

C

0n

+

C

1n

(

2

)1+

C

2n

(

2

)2+

C

3n

(

2

)3+…+

C

nn

(

2

)n，
又a_n=a+b

2

（a，b∈Z），
∴a=

C

0n

+

C

2n

(

2

)2+

C

4n

(

2

)4+…，
∵2

C

2n

+2²

C

4n

+…为偶数，
∴a是奇数．…（4分）
证明：（2）由（1）设a_n=(1+

2

)n=a+b

2

（a，b∈Z），
则(1-

2

)n=a-b

2

（a，b∈Z），…（5分）
∴a²-2b²=（a+b

2

）（a-b

2

）=(1+

2

)n?(1-

2

)n=（1-2）ⁿ，…（6分）
当n为偶数时，a²=2b²+1，存在k=a²，使得a_n=a+b

2

=

a2

+

2b2

=

k

+

k-1

，…（8分）
当n为奇数时，a²=2b²-1，存在k=2b²，使得a_n=a+b

2

=

a2

+

2b2

=

k-1

+

k

，…（9分）
综上，对于任意n∈N^*，都存在正整数k，使得a_n=

k-1

+

k

． …（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知an=(1+2)n(n∈N*)．（1）若an=a+b2(a，b∈Z)，求证：a是奇数；（2）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中二项式定理与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二项式定理与性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：