已知函数f（x）=exlnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设x＞0，求证：f（x+1）＞e2x﹣1；（3）设n∈N*，求证：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[n（n+1）+1]＞2n﹣3．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=exlnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设x＞0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^xlnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设x＞0，求证：f（x+1）＞e ^2x﹣1；
（3）设n∈N*，求证：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[n（n+1）+1]＞2n﹣3．

试题来源：湖南省月考题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：综合法与分析法证明不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）定义域为（0，+∞），
由f ′（x）=e^xlnx（lnx+1），
令f ′（x）>0，解得x>；令f '（x）<0，解得0<x<．
故f（x）的增区间：（，+∞），减区间：（0，），
（2）即证：（x+1）ln（x+1）>2x-1 ln（x+1）> ln（x+1）->0
令g（x）=ln（x+1）-，由g'（x）=，
令g′（x）=0，得x=2，且g（x）在（0，2）↓，在（2，+∞）↑，所以g（x）_min=g（2）=ln3﹣1，
故当x＞0时，有g（x）≥g（2）=ln3﹣1＞0得证。
（3）由（2）得ln（x+1）>，即ln（x+1）>2-，
所以ln[k（k+1）+1]>2->2-，
则：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[（n（n+1）]+1>（2-）+（2-）+...+[2-]=2n-3+>2n-3。．