已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-22 07:30:00

试题原文

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程．

试题来源：山东试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞c)
（Ⅰ）由已知得

b=c

2a2

c

=4

a2=b2+c2

?

a2=2

b2=1

c2=1

∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+2

x2

2

+y2=1

，消去y得关于x的方程：
（1+2k²）x²+8kx+6=0
由直线l与椭圆相交于A、B两点，
∴△＞0?64k²-24（1+2k²）＞0
解得k2＞

3

2

又由韦达定理得

x1+x2=-

8k

1+2k2

x1?x2=

6

1+2k2

∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

1+2k2

16k2-24

原点O到直线l的距离d=

2

1+k2

∵S△AOB=

1

2

|AB|?d=

16k2-24

1+2k2

=

2

2k2-3

1+2k2

．
对S=

16k2-24

1+2k2

两边平方整理得：4S²k⁴+4（S²-4）k²+S²+24=0（*）
∵S≠0，

16(S2-4)2-4×4S2(S2+24)≥0

4-S2

S2

＞0

S2+24

4S2

＞0

整理得：S2≤

1

2

又S＞0，∴0＜S≤

2

从而S_△AOB的最大值为S=

2

，
此时代入方程（*）得4k⁴-28k²+49=0∴k=±

14

2

所以，所求直线方程为：±

14

x-2y+4=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的方程”。

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