已知a=(cos(π4x)，1)，b=(f(x)，2sin(π4x))，a∥b．数列an满足a1=12，an+1=f(an).n∈N*．（Ⅰ）证明：0＜an＜an+1＜1；（Ⅱ）已知an^≥12，证明：an+1-π4an＞4-π4；（Ⅲ）设Tn是数列an的前n项和-数学试题及答案

1、试题题目：已知a=(cos(π4x)，1)，b=(f(x)，2sin(π4x))，a∥b．数列an满足a1=1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

已知

a

=(cos(

π

4

x)， 1)，

b

=(f(x)， 2sin(

π

4

x))，

a

∥

b

．数列a_n满足a1=

1

2

， an+1=f(an). n∈N*．
（Ⅰ）证明：0＜a_n＜a_n+1＜1；
（Ⅱ）已知an^ ≥

1

2

，证明：an+1-

π

4

an＞

4-π

4

；
（Ⅲ）设T_n是数列a_n的前n项和，判断T_n与n-3的大小，并说明理由．．

试题来源：黄冈模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用坐标表示向量的数量积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵

a

∥

b

，
∴cos(

π

4

x)?2sin(

π

4

x)-f(x)=0．
∴f(x)=sin(

π

2

x)．
∴an+1=f(an)=sin(

π

2

an)．（1分）
下面用数学归纳法证明：0＜a_n＜a_n+1＜1．
①n=1时，a1=

1

2

， a2=sin(

π

2

a1)=sin

π

4

=

2

. ∴0＜a1＜a2＜1，
故结论成立．
②假设n=k时结论成立，即0＜ak＜ak+1＜1， ∴ 0＜

π

2

ak＜

π

2

ak+1＜

π

2

．
∴0＜sin(

π

2

ak)＜sin(

π

2

ak+1)＜1，
即0＜a_k+1＜a_k+2＜1．
也就是说n=k+1时，结论也成立．
由①②可知，对一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．（4分）
（Ⅱ）要证an+1-

π

4

an＞

4-π

4

，即证sin(

π

2

an)-

π

4

an-

4-π

4

＞0，其中

1

2

≤an＜1．
令g(x)=sin(

π

2

x)-

π

4

x-

4-π

4

.x∈[

1

2

， 1)．
由g′(x)=

π

2

cos(

π

2

x)-

π

4

=

π

2

[cos(

π

2

x)-

1

2

]=0，得x=

2

3

．（6分）

x

(

1

2

，

2

3

)

2

3

(

2

3

， 1)

g'（x）

+

0

-

g（x）

↗

极大值

↘

又g（1）=0，g(

1

2

)=

2

-

π

8

-

4-π

4

=

4

2

+π-8

8

＞0．
∴当x∈[

1

2

， 1)，g（x）＞0．
∴sin(

π

2

x)-

π

4

x＞

4-π

4

．
∴sin(

π

2

an)-

π

4

an＞

4-π

4

．
即an+1-

π

4

an＞

4-π

4

．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
1-an+1＜

π

4

(1-an)＜(

π

4

)2(1-an-1)＜(

π

4

)n(1-a 1)=(

π

4

)n

1

2

. n∈N*．（11分）
∴(1-a1)+(1-a2)++(1-an)＜

1

2

+

1

2

?(

π

4

)++

1

2

?(

π

4

)n-1＜

1

2

1-

π

4

=

2

4-π

．
∴Tn=a1+a2++an＞n-

2

4-π

．（13分）
又

2

4-π

-3=

3π-10

4-π

＜0，
即n-

2

4-π

＞n-3．
∴T_n＞n-3．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a=(cos(π4x)，1)，b=(f(x)，2sin(π4x))，a∥b．数列an满足a1=1..”的主要目的是检查您对于考点“高中用坐标表示向量的数量积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用坐标表示向量的数量积”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：