设函数f（x）=ex-e-x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f‘（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ex-e-x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f‘（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=e^x-e^-x
（Ⅰ）证明：f（x）的导数f'（x）≥2；
（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f（x）的导数f'（x）=e^x+e^-x．
由于ex+e-x≥2

ex?e-x

=2，故f'（x）≥2．
（当且仅当x=0时，等号成立）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax，则g'（x）=f'（x）-a=e^x+e^-x-a，
（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=e^x+e^-x-a＞2-a≥0，
故g（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．
（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根为x1=ln

a+

a2-4

2

，
此时，若x∈（0，x₁），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．
所以，x∈（0，x₁）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax相矛盾．
综上，满足条件的a的取值范围是（-∞，2]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ex-e-x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f‘（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。

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