对定义域是Df．Dg的函数y=f（x）．y=g（x），规定：函数h（x）=f(x)g(x)，当x∈Df且x∈Dgf(x)，当x∈Df且x?Dgg(x)，当x?Df且x∈Dg．（1）若函数f（x）=1x-1，g（x）=x2，写出函数h（x）的解析式；（-数学试题及答案

1、试题题目：对定义域是Df．Dg的函数y=f（x）．y=g（x），规定：函数h（x）=f(x)g(x)，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-26 07:30:00

试题原文

对定义域是D_f．D_g的函数y=f（x）．y=g（x），
规定：函数h（x）=

f(x)g(x)，当x∈Df且x∈Dg

f(x)，当x∈Df且x?Dg

g(x)，当x?Df且x∈Dg

．
（1）若函数f（x）=

1

x-1

，g（x）=x²，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．

试题来源：上海试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数、映射的概念

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）h（x）=

x2

x-1

，x∈(-∝，1)∪(1，+∞)

1，x=1

，．
（2）当x≠1时，h（x）=

x2

x-1

=x-1+

1

x-1

+2，
若x＞1时，则h（x）≥4，其中等号当x=2时成立
若x＜1时，则h（x）≤0，其中等号当x=0时成立
∴函数h（x）的值域是（-∞，0]∪{1}∪[4，+∞）
（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=

π

4

则g（x）=f（x+α）=sin2（x+

π

4

）+cos2（x+

π

4

）=cos2x-sin2x，
于是h（x）=f（x）?f（x+α）=（sin2x+co2sx）（cos2x-sin2x）=cos4x．
另解令f（x）=1+

2

sin2x，α=

π

2

，
g（x）=f（x+α）=1+

2

sin2（x+π）=1-

2

sin2x，
于是h（x）=f（x）?f（x+α）=（1+

2

sin2x）（1-

2

sin2x）=cos4x．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对定义域是Df．Dg的函数y=f（x）．y=g（x），规定：函数h（x）=f(x)g(x)，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数、映射的概念”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数、映射的概念”。

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