发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-04-21 07:30:00
试题原文 |
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证明:由于自然数是有序的,因此我可以把他们排列从小到大,不妨设a1<a2<a3…<a1996, ①证明a1,a2…a1996任取3个,一定有一个是偶数. 假设任取三个ai,aj,ak,它们全部都是奇数,那么他们可以表示成 ai=a,aj=a+2b,ak=a+2c, 其中a,b,c为正整数,且a为奇数,b<c,我这样做因为他们肯定相隔偶数. 由已知 aj-ai|ai+aj, ak-ai|ai+ak, ak-aj|aj+ak, 得到 b|a+b,即b|a, c|a+c,即c|a, 故c-b|a+b+c, 因此b,c都是奇数,那么a+b+c是3个奇数相加,因此也是奇数, 然而c-b是两个奇数相减,因此是偶数,那么不可能一个偶数c-b能除尽奇数a+b+c,因此得到矛盾,所以不可能都是奇数. ②从a1,…a1996任取两个ai,aj,其中ai<aj,下面证明aj-ai|n. 由aj-ai|ai+aj,可得aj-ai|(ai+aj)2=ai2+2aiaj+aj2=(aj-ai)2+4aiaj 由于aj-ai|(aj-ai)2所以aj-ai|4aiaj 在①里面,可见任何3个数中,必有一个是奇数,因此a1,a2,…a1996至少有2个偶数不等于ai,aj, 因此,显然4aiaj|n,所以aj-ai|n ③从n,n+a1,n+a2,…n+a1996任取两个n+ai,n+aj,其中ai<aj 他们两个之差=aj-ai 之和=2n+ai+aj 因为 aj-ai|n(②中证明的) 和 aj-ai|ai+aj(已知条件) 所以aj-ai|2n+ai+aj, 这样证明了任取两个数属于{n,n+a1,n+a2…n+a1996},他们之和能被他们之差整除. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知1996个自然数a1,a2,…a1996两数的和能被它们的差整除,现设..”的主要目的是检查您对于考点“初中有理数除法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“初中有理数除法”。