已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为22；抛物线C2：y2=2px（p＞0）上一点（1，m）到其焦点的距离为2．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为22..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为

2

；抛物线C₂：y²=2px（p＞0）上一点（1，m ）到其焦点的距离为2．
（1）求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂相切，求直线l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由2b=2，得b=1． …（1分）
由

c

a

=

2

，得

a2-1

a2

=

1

2

，a2=2． …（2分）
∴椭圆C₁的方程是

x2

2

+y2=1． …（3分）
依题意有1+

p

2

=2，得p=2，…（4分）
∴抛物线C₂的方程是y²=4x．…（5分）
（2）①当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=n．
由直线l与椭圆C₁相切，可得n=±

2

；
由直线与抛物线C₂相切得n=0．
∴此时符合题设条件的直线l不存在．…（7分）
②当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+n …（8分）
当直线l与椭圆C₁相切时，联立

x2

2

+y2=1

y=kx+n

，得（1+2k²）x²+4knx+2n²-2=0，
由△1=(4kn)2-4(1+2k2)(2n2-2)=0，得n²=2k²+1，…（10分）
当直线l与抛物线C₂相切时，联立

y2=4x

y=kx+n

，得k²x²+2（kn-2）x+n²=0，
由△2=[2(kn-2)]2-4k2n2=0，得kn=1，…（12分）
联立

n2=2k2+1

kn=1

，解得k=

2

，n=

2

或k=-

2

，n=-

2

．…（13分）
综上，直线l的方程为y=±

2

(x+2)．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为22..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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