已知函数f(x)=2n+12x+2n-12x在(0，+∞)上的最小值是an（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明1a21+1a22+…+1a2n＜12；（3）在点列An（2n，an）中，是否存在两点Ai，Aj（i，j∈N*）使-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=2n+12x+2n-12x在(0，+∞)上的最小值是an（n∈N*）．（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

2n+1

2

x+

2n-1

2x

在(0，+∞)上的最小值是a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明

1

a

21

+

1

a

22

+…+

1

a

2n

＜

1

2

；
（3）在点列A_n（2n，a_n）中，是否存在两点A_i，A_j（i，j∈N^*）使直线A_iA_j的斜率为1？若存在，求出所有数对（i，j），若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f(x)≥

1

2

?2

(2n+1)x?

2n-1

x

=

4n2-1

…（2分）
当且仅当(2n+1)x=

2n-1

x

即x=

2n-1

2n+1

时，
f（x）取得最小值

4n2-1

，
∴an=

4n2-1

．…（4分）
（2）证明∵

1

a

2n

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，…（6分）
∴

1

a

21

+

1

a

22

+…+

1

a

2n

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．…（9分）
（3）不存在．
设A_i（2i，a_i），A（2j，a_j），（其中i，j∈N^*），
则kAiAj=

ai-aj

2(i-j)

=

4i2-1

-

4j2-1

2(i-j)

…（10分）
=

4(i2-j2)

2(i-j)(

4i2-1

+

4j2-1

)

…（12分）
=

2(i+j)

4i2-1

+

4j2-1

＞

2(i+j)

4i2

+

4j2

=1．
故不存在存在两点A_i，A_j（i，j∈N^*）使直线A_iA_j的斜率为1．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=2n+12x+2n-12x在(0，+∞)上的最小值是an（n∈N*）．（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：