如图，抛物线M：y=x2+bx（b≠0）与x轴交于O，A两点，交直线l：y=x于O，B两点，经过三点O，A，B作圆C．（I）求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上；（II）求证：圆C经过除原点外的一-数学试题及答案

1、试题题目：如图，抛物线M：y=x2+bx（b≠0）与x轴交于O，A两点，交直线l：y=x于O，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

如图，抛物线M：y=x²+bx（b≠0）与x轴交于O，A两点，交直线l：y=x于O，B两点，经过三点O，A，B作圆C．
（I）求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上；
（II）求证：圆C经过除原点外的一个定点；
（III）是否存在这样的抛物线M，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？

试题来源：江苏月考题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（I）在方程y=x²+bx中．
令y=0，y=x，易得A（﹣b，0），B（1﹣b，1﹣b）
设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey=0，则

，
故经过三点O，A，B的圆C的方程为
x²+y²+bx+（b﹣2）y=0，
设圆C的圆心坐标为（x₀，y₀），则
x₀=﹣

，y₀=﹣

，
∴y₀=x₀+1，这说明当b变化时，
（I）中的圆C的圆心在定直线y=x+1上．
（II）设圆C过定点（m，n），则m²+n²+bm+（b﹣2）n=0，整理得
（m+n）b+m²+n²﹣2n=0，它对任意b≠0恒成立，
∴

或

故当b变化时，（I）中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为（﹣1，1）．
（III）抛物线M的顶点坐标为（﹣

，﹣

），
若存在这样的抛物线M，使它的顶点与它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆C的半径，则
|﹣

|≤

，
整理得（b²﹣2b）²≤0，
因b≠0，∴b=2，
以上过程均可逆，
故存在抛物线M：y=x²+2x，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，抛物线M：y=x2+bx（b≠0）与x轴交于O，A两点，交直线l：y=x于O，..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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