已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（2，1）在椭圆M上．直线l的斜率为22，且与椭圆M交于B、C两点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求△ABC面积的最大-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，其短轴的一个端点到右焦点的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（

2

，1）在椭圆M上．直线l的斜率为

2

，且与椭圆M交于B、C两点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

试题来源：昌平区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意知

2

a2

+

1

b2

=1

a=2

，解得b=

2

．
故所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=

2

x+m，则m≠0．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
代入椭圆方程并化简得x2+

2

mx+m2-2=0，
由△=2m²-4（m²-2）=2（4-m²）＞0，可得0＜m²＜4①．
由①，得x1=

-

2

m-

2(4-m2)

2

，x2=

-

2

m+

2(4-m2)

2

，
故|BC|=

1+(

2

)2

|x1-x2|=

3

2

×

2(4-m2)

=

3(4-m2)

．
又点A到BC的距离为d=

|2m|

6

，
故S△ABC=

1

2

|BC|?d=

1

2

3(4-m2)

×

|2m|

6

=

1

2

×

(4-m2)m2

≤

1

2

×

m2+(4-m2)

2

=

2

，
当且仅当m²=4-m²，即m=±

2

时取等号，满足①式．
所以△ABC面积的最大值为

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，其短轴的一个端点到右焦点的..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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