设MN是双曲线x24-y23=1的弦，且MN与x轴垂直，A1、A2是双曲线的左、右顶点．（Ⅰ）求直线MA1和NA2的交点的轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线y=x-1与轨迹C交于A、B两点，若轨迹C上的点P满足.-数学试题及答案

1、试题题目：设MN是双曲线x24-y23=1的弦，且MN与x轴垂直，A1、A2是双曲线的左..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

设MN是双曲线

x2

4

-

y2

3

=1的弦，且MN与x轴垂直，A₁、A₂是双曲线的左、右顶点．
（Ⅰ）求直线MA₁和NA₂的交点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y=x-1与轨迹C交于A、B两点，若轨迹C上的点P满足

.

OP

=λ

.

OA

+μ

.

OB

（O为坐标原点，λ，μ∈R）
求证：λ2+μ2-

10

7

λμ为定值，并求出这个定值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵A₁、A₂是双曲线的左、右顶点，∴A₁（-2，0）A₂（2，0）
∵MN是双曲线

x2

4

-

y2

3

=1的弦，且MN与x轴垂直，∴设M（x₀，y₀），则N（x₀，-y₀）
则直线MA₁和NA₂的方程分别为y=

y0

x0+2

（x+2），y=

-y0

x0-2

（x-2）
联立两方程，解x₀，y₀，得

x0=

4

x

y0=

2y

x

，∵M（x₀，y₀）在双曲线上，代入双曲线方程，得

x2

4

+

y2

3

=1，即直线MA₁和NA₂的交点的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）联立

x2

4

+

y2

3

=1

y=x-1

得7x²-8x-8=0
由韦达定理得x1+x2=

8

7

，x1x2=

8

7

A，B，P三点在

x2

4

+

y2

3

=1上，
知3x₁²+4y₁²=12，3x₂²+4y₂²=12，
∵

.

OP

=λ

.

OA

+μ

.

OB

，∴P点坐标为（λ²x₁²+2λμx₁x₂+μ²x₂²，λ²y₁²+2λμy₁y₂+μ²y₂²）
∴3（λ²x₁²+2λμx₁x₂+μ²x₂²）+4（λ²y₁²+2λμy₁y₂+μ²y₂²）=12
又3x1x2+4y1y2=7x1x2-4(x1+x2)+4=-

60

7

∴λ2+μ2-

10

7

λμ=1
∴λ2+μ2-

10

7

λμ为定值，且定制为1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设MN是双曲线x24-y23=1的弦，且MN与x轴垂直，A1、A2是双曲线的左..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：