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1、试题题目：若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．（1）若x2-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
（1）若x2-1比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab
ab
；
（3）已知函数f（x）的定义域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．

  试题来源：上海   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：分段函数与抽象函数



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）根据定义可得：|x2-1|＞1
∴x2-1＞1或x2-1＜-1
解得x∈(-∞，-
2
)∪(
2
．+∞)
（2）证明：欲证明a3+b3比a2b+ab2远离2ab
ab

即证|a3+b3-2ab
ab
|＞|a2b+ab2-2ab
ab
|，又任意两个不相等的正数a、b
即证|
b2
a
+
a2
b
-2
ab?
|＞|a+b-2
ab?
|
由于a+b≥2
ab?
，
b2
a
+
a2
b
-(a+b)=
(a+b)(a2+b2-2ab)
ab
＞0
∴
b2
a
+
a2
b
＞a+b＞2
ab

即证|
b2
a
+
a2
b
-2
ab?
|＞|a+b-2
ab?
|成立
∴|a3+b3-2ab
ab
|＞|a2b+ab2-2ab
ab
|
（3）由题意知f(x)=
sinx，x∈(kπ+
π
4
，kπ+
3π
4
)
cosx，x∈(kπ-
π
4
，kπ+
π
4
)

性质：①函数是偶函数；
②周期T=
π
2

③在区间[
kπ
2
+
π
4
，
kπ
2
+
π
2
]k∈z是增函数，在[
kπ
2
-
π
4
，
kπ
2
+
π
4
]k∈z是减函数
④最大值为1，最小值为
2
2

⑤定义域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．（1）若x2-..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。


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